\documentclass{tp-caml}


\tp{
  title={Analyse},
  number=Troisième TD de maple,
  date=Vendredi 30 novembre 2012,
  class=MP1
}
\newcommand{\ie}{\textsl{i.e.~}}
\newcommand{\via}{\textsl{via~}}
\newcommand{\eg}{\textsl{e.g.~}}

\begin{document}

\newenvironment{maple}{
  \small
  \verbatim
}{\endverbatim}



\begin{corpus}

\begin{section}{Développement limité}

Soit : $$f(x) = cos(x) - \frac{a+bx^2+cx^4}{1+dx^2+ex^4}$$
\begin{exo}
Déterminer les coefficients $a, b, c, d, e$ tels que le développement
de $f$ au voisinage de 0 soit de l'ordre le plus élevé possible (\ie
pour que son développement limité en 0 soit de la forme $\lambda x^k +
O(x^{k+1})$ avec $k$ le plus grand possible).
\end{exo}

\begin{exo}
Donner alors un équivalent de $f$.
\end{exo}

\end{section}

\begin{section}{Suite}

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ et
$u_{n+1} = \frac{u_n+1}{2-u_n}$

\begin{exo}
Tracer la fonction associée. La suite peut-elle converger ?
\end{exo}
\begin{exo}
Calculer les 30 premiers termes de la suite pour divers $u_0$. Que peut-on conjecturer ?
\end{exo}
\end{section}

\begin{section}{Équation différentielle}
\begin{exo}
Tracer le graphe de la solution de l'équation différentielle
$$y''(x) + \sin(y(x)) = 0$$
vérifiant $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0.5$
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer la plus petite valeur strictement positive annulant cette solution
\end{exo}
\end{section}



\begin{section}{Série de Fourier}

On pose $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~g(x) = \frac{ch(x)}{sh(x)}-\frac{1}{x} \mathrm{~si~} x \neq 0,~g(0) = 0$

\begin{exo}
$g$ est-elle continue ?
\end{exo}

Pour $\alpha \in \mathbb{R}^*$, soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~f(x) = ch(\alpha x)$ pour $x \in [-\pi;\pi]$.

\begin{exo}
Représenter $f$ sur $[-3\pi;3\pi]$ pour $\alpha = 2$;
\end{exo}
\begin{exo}
Calculer la série de Fourier de $f$ et étudier sa convergence.
\end{exo}
\begin{exo}
Donner une expression de $g$ comme somme de séries de fonction rationnelles.
\end{exo}
\end{section}

\begin{section}{Équation différentielle 2}

Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que :
\begin{align*}
f(x < -2) &= x+2 \\
f(-2 \leq x < 1) &= 1/2 \\
f(1 \leq x < 2) &= x^2/2 \\
f(x \geq 2) &= x-1
\end{align*}

\begin{exo}
Calculer $f'(x)$, une primitive de $f$, intégrer $f$ sur $[0;2\pi]$.
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre $y'(x) + y(x) = f(x)$.
\end{exo}

\end{section}

\begin{section}{Série de Fourier 2}

Soit la fonction $f_0$ $2\pi$ périodique $f_0(x) = |sin(x/2)|$
\begin{exo} Calculer les coefficients de Fourier de $f_0$.\end{exo}

\end{section}

\begin{section}{Pivot de Gauss}
\begin{exo}
Implémenter une fonction \texttt{inverse} qui inverse une matrice
(supposée carrée et inversible) à l'aide d'un pivot de Gauss.
\end{exo}

\begin{exo}
En réutilisant ce pivot de Gauss, écrire une fonction.
\texttt{determinant} qui calcule le déterminant d'une matrice (supposée carrée)
\end{exo}

\end{section}

\end{corpus}


\end{document}



